حجم جامد انقلاب: دیسک ها و واشرها

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

حجم جامد انقلاب: دیسک ها و واشرها

اگر منطقه ای در هواپیما در حدود یک خط در همان هواپیما چرخانده شود ، جسم حاصل به عنوان یک انقلاب جامد شناخته می شود.

به عنوان مثال ، یک سیلندر دایره ای راست جامد می تواند با چرخش مستطیل ایجاد شود. به طور مشابه ، یک توپ کروی محکم می تواند با چرخش نیمه دیسک ایجاد شود.

خطی که در آن شکل می چرخیم ، محور انقلاب نامیده می شود.

روش دیسک

روش دیسک هنگام چرخش یک منحنی واحد y = f (x) در اطراف محور x - (یا y -) استفاده می شود.

فرض کنید y = f (x) یک عملکرد غیر منفی مداوم در بازه است [a ، b].

حجم جامد تشکیل شده توسط چرخش منطقه محدود شده توسط منحنی (y = f سمت چپ (x راست) ) و محور (x-) بین (x = a ) و (x =b ) در مورد محور (x-) توسط

[v = pi int limits_a^b<<<left[ ight]>^2>dx> .]

مقطع عمود بر محور انقلاب دارای شکل دیسک شعاع (r = f سمت چپ (x راست) است. )

به طور مشابه ، می توانیم حجم جامد را پیدا کنیم وقتی منطقه توسط منحنی محدود شود (x = f سمت چپ (y راست) ) و محور (y-) بین (y = c ) و (y = d ، ) و در مورد محور (y-) چرخانده شده است.

فرمول حاصل است

[v = pi int limits_c^d<<<left[ ight]>^2>dy> .]

روش واشر

ما می توانیم روش دیسک را گسترش دهیم تا حجم یک جامد توخالی انقلاب را پیدا کنیم.

با فرض اینکه توابع (f سمت چپ (x راست) ) و (G سمت چپ (x راست) ) در فاصله ( سمت چپ [ راست] ) مداوم و غیر منفی هستند و . G سمت چپ (x راست) ، ) بین (x = a ) و (x = b. )

حجم جامد تشکیل شده توسط چرخش منطقه در مورد محور (x-) است

[v = pi int limits_a^b<left( <<<left[ ight]>^2> - <<left[ ight]>^2>> ight)dx> .]

در یک نقطه (x ) در محور (x-) ، یک مقطع عمود بر جامد با شعاع داخلی (r = g سمت چپ (x راست) ) و بیرونی شکل واشر است. شعاع (r = f سمت چپ (x راست). )

حجم جامد تولید شده توسط چرخش در مورد محور (y-) منطقه ای بین منحنی ها (x = f سمت چپ (y راست) ) و (x = g سمت چپ (y راست) ،) جایی که (g سمت چپ (y راست) le f سمت چپ (y راست) ) و (c le y le d ) توسط فرمول داده می شود

[v = pi int limits_c^d<left( <<<left[ ight]>^2> - <<left[ ight]>^2>> ight)dy> .]

حجم جامد انقلاب برای یک منحنی پارامتری

اگر یک منحنی محدودیت به صورت پارامتری توسط معادلات (x = x سمت چپ (t راست) تعریف شده باشد ، ) (y = y سمت چپ (t راست) ، ) که در آن پارامتر (t )از ( alpha ) تا ( beta ، ) متفاوت است و سپس حجم جامد تولید شده توسط چرخش منحنی در مورد محور (x-) توسط

[ = pi intlimits_alpha ^x08eta left( t ight)frac>>dt> .]

به ترتیب ، هنگامی که منحنی در محور (y-) چرخانده می شود ، حجم جامد انقلاب برابر است

[ = pi intlimits_alpha ^x08eta left( t ight)frac>>dt> .]

حجم یک انقلاب برای یک منحنی قطبی

منحنی های زیادی وجود دارد که توسط یک معادله قطبی (r = r سمت چپ ( theta راست)) داده می شود. ) برای تبدیل از مختصات قطبی ( سمت چپ ( راست) ) به مختصات دکارتی ( سمت چپ ( سمت چپ ( سمت چپ ( سمت چپ) راست) ، ) ما از فرمول های شناخته شده استفاده می کنیم

[x = r سمت چپ ( theta راست) cos theta ، ؛ ؛y = r سمت چپ ( theta راست) sin theta. ]

بنابراین ما به شکل پارامتری منحنی در نظر گرفته شده در بخش قبلی می رسیم.

It is important to keep in mind that the radius vector (r) also depends on the parameter ( heta.) Therefore, the derivatives (frac>>) and (frac>>) به صورت نوشته شده است

[ frac<>>= frac< ight)>>>= frac< ight)>>> cos theta - r سمت چپ ( theta راست) sin theta ، ]

[ frac<>>= frac< ight)>>>= frac< ight)>>> sin theta + r چپ ( theta راست) cos theta. ]

مشکلات حل شده

برای دیدن راه حل ، روی یک مشکل کلیک کنید یا ضربه بزنید.

مثال 1

با استفاده از روش دیسک ، حجم مخروط دایره ای راست ارتفاع (H ) و شعاع پایه (R. ) را محاسبه کنید

مثال 2

حجم جامد به دست آمده را با چرخاندن عملکرد سینوسی بین (x = 0 ) و (x = pi ) در مورد محور (x-) پیدا کنید.

مثال 3

حجم جامد به دست آمده را با چرخاندن منطقه محدود شده توسط parabola (y = ) و عملکرد ریشه مربع (y = sqrt x ) در اطراف محور (x-) محاسبه کنید.

مثال 4

حجم جامد به دست آمده را با چرخاندن منطقه محدود شده توسط دو پارابول [y = + 1 ، y = 3 - ] در مورد محور (x - ) پیدا کنید.

مثال 1.

با استفاده از روش دیسک ، حجم مخروط دایره ای راست ارتفاع (H ) و شعاع پایه (R. ) را محاسبه کنید

ارتفاع شیب مخروط توسط معادله تعریف می شود:

[x = r - fracy.]

از این رو ، حجم مخروط توسط

مثال 2.

حجم جامد به دست آمده را با چرخاندن عملکرد سینوسی بین (x = 0 ) و (x = pi ) در مورد محور (x-) پیدا کنید.

با روش دیسک ،

مثال 3.

حجم جامد به دست آمده را با چرخاندن منطقه محدود شده توسط parabola (y = ) و عملکرد ریشه مربع (y = sqrt x ) در اطراف محور (x-) محاسبه کنید.

هر دو منحنی در نقاط (x = 0 ) و (x = 1. ) با استفاده از روش واشر تلاقی می کنند.

مثال 4.

حجم جامد به دست آمده را با چرخاندن منطقه محدود شده توسط دو پارابول [y = + 1 ، y = 3 - ] در مورد محور (x - ) پیدا کنید.

ابتدا مرزها را تعیین می کنیم (a ) و (b: )

[ + 1 = 3 - ، ؛ ؛ RightArrow 2 = 2 ، ؛ ؛ RightArrow = 1 ، ؛ ؛ RightArrow X_ = PM 1. ]

از این رو محدوده ادغام (a = -1 ، ) (b = 1. ) ما منطقه محدود و جامد انقلاب را ترسیم می کنیم:

با استفاده از روش واشر ، حجم جامد را می یابیم:

مشکلات بیشتر را در صفحه 2 مشاهده کنید.

صفحات توصیه شده

  • حجم یک جامد با یک مقطع شناخته شده
  • حجم جامد انقلاب: دیسک ها و واشرها
  • حجم جامد انقلاب: پوسته های استوانه ای
  • منطقه یک سطح انقلاب
  • عملکرد چگالی احتمال
  • قضیه پاپوس
  • فاصله ، سرعت و شتاب
  • لحظه عدم تحرک < pan> [ + 1 = 3 - ، ؛ ؛ RightArrow 2 = 2 ، ؛ ؛ RightArrow = 1 ، ؛ ؛ RightArrow X_ = PM 1. ]

 

گزینه های باینری...
ما را در سایت گزینه های باینری دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : هایده حائری بازدید : <-PostHit-> تاريخ : پنجشنبه 16 شهريور 1402 ساعت: 15:38

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه