پارامتر همبستگی چیست؟

نکات مورد توجه: میانگین ارتفاع 66. 8 اینچ ، SD 4. 54 اینچ است. ارتفاع اول 60 اینچ است که حدود 1. 5 نمونه انحراف استاندارد زیر میانگین یا یک نمره Z-1. 4974 است. وزن اول 102 پوند است که 1. 43 انحراف استاندارد زیر میانگین وزن z = (102-150. 7) /35. 91 = -1. 43 است. محصول دو نمره z 2. 1479 (-1. 4974*-1. 4344 = 2. 1479) است. اگر محصولات را به طور متوسط (در واقع جمع و تقسیم بر N-1) ، به دست آوریم ، 96 می گیریم ، که ضریب همبستگی است.

چرا ضریب همبستگی حداکثر 1 و یک دقیق ه-1 دارد؟چرا همبستگی مثبت است که هر دو با هم افزایش می یابند؟

بیایید به نمودارهای قد و وزن نگاه کنیم. ابتدا در نمرات خام ، سپس در z-scores:

نمرات خام

Z-Scores

نکاتی برای توجه:

1. الگوی یا نمرات نمرات در نمودارهای جدید و اصلی یکسان است ، اما میانگین جدید قد و وزن اکنون صفر است و البته واحدهای جدید انحراف استاندارد هستند.
2. هر نمره با یک امتیاز نشان داده می شود و امتیازها در چهار ربع تعریف شده توسط این دو قرار می گیرند. نقاط در ربع راست بالایی بالاتر از میانگین در هر دو x و Y است. نقاط در سمت راست پایین بالاتر از میانگین x و زیر میانگین در y هستند. نقاط در سمت چپ فوقانی زیر میانگین در x و بالاتر از میانگین قرار دارندY. نقاط در سمت چپ پایین زیر میانگین در هر دو x و y است.
3. اگر هر دو z x و z y مثبت باشند و هر دو Z x و z y منفی باشند ، محصولات Z-Scores مثبت خواهند بود. محصولات متقاطع مثبت با نقاط موجود در ربع های بالا سمت راست و پایین سمت چپ مطابقت دارند. محصولات اگر یک یا دیگری باشند ، اما نه هر دو ، Z x و z y منفی خواهند بود. محصولات متقاطع منفی با نقاط در ربع های سمت چپ بالا و پایین راست مطابقت دارند. توجه کنید که در نمودار نمودار Z یک علامت به علاوه (+) را در ربع های مربوط به محصولات متقابل مثبت و یک علامت منفی (-) در ربع های مربوط به محصولات متقابل منفی قرار داده ام.
4. ضریب همبستگی متوسط محصول متقابل Z-Scores است. اگر بیشتر نقاط در ربع مثبت باشند ، همبستگی مثبت خواهد بود. اگر بیشتر نقاط در ربع های منفی باشند ، ضریب همبستگی منفی خواهد بود. اگر نقاط به طور مساوی در هر چهار ربع توزیع شوند ، ضریب همبستگی صفر خواهد بود.
5. حداکثر محصولات متقاطع هنگامی اتفاق می افتد که x = y ، یعنی وقتی نقاط بر روی خط مستقیم 45 درجه که از 2 ربع عبور می کنند (یا مثبت یا هر دو منفی) قرار می گیرند. این اتفاق می افتد زیرا سپس z x *z y = z x 2. به عنوان مثال ، اگر z x 1 باشد ، حداکثر محصول هنگامی که z y 1 است به دست می آید زیرا 1 * 1 = 1. هر مقدار دیگر کمتر از 1 منجر به یک محصول کوچکتر می شود ، به عنوان مثال ، 1 * . 9 = . 9. البته ، اگر z y از 1 بیشتر باشد ، محصول از 1 بزرگتر است ، به عنوان مثال ، 1*2 = 2 ، اما این کوچکتر از این است که z x 2 باشد ، همان مقدار z y (2*2 4 است ، که کدام یک است. بیشتر از 1*2 = 2 است). حداکثر مقدار ضریب همبستگی (+ یا - 1) هنگامی اتفاق می افتد که مقادیر x و y روی یک خط مستقیم قرار می گیرند ، یعنی زمانی که رابطه مشترک کامل است.

ما معمولاً R ، همبستگی جمعیت را نمی دانیم. ما از آماری R برای تخمین R و انجام آزمایشات فرضیه استفاده می کنیم. متداول ترین آزمایش این است که آیا R = 0 ، یعنی اینکه آیا این همبستگی با صفر تفاوت معنی داری دارد. به عنوان مثال ، ما ممکن است همبستگی بین نمره تست استعداد مکانیکی و اندازه گیری موفقیت در یک برنامه آموزش مکانیکی و آزمایش را محاسبه کنیم تا ببینیم آیا این همبستگی با صفر متفاوت است یا خیر. ما همچنین می توانیم از R استفاده کنیم تا آزمایش کند که آیا مقداری به غیر از صفر ، مانند R = 0. 30 است. به عنوان مثال ، بر اساس تحقیقات گذشته ، ممکن است فرض کنیم که همبستگی بین SAT-V و GPA 60/0 است. ما همچنین می توانیم آزمایش کنیم که آیا همبستگی ها در بین گروه ها برابر هستند (به عنوان مثال ، آیا همبستگی بین SAT-V و GPA برای مردان و زنان برابر است). آزمایش فرضیه ها بر روی بیانیه های احتمال استوار است. به عنوان مثال ، ممکن است بگوییم که اگر R = 0 باشد ، R از 0. 70 بسیار بعید است. اظهارات احتمال از توزیع نمونه برداری ناشی می شود. اگر نمونه های مکرر را از یک جمعیت بگیرید و هر بار که نمونه می گیرید ، یک نمونه را از جمعیت دریافت می کنید ، توزیع نمونه گیری همان چیزی است که شما می گیرید. ممکن است به یاد بیاورید که میانگین (بلند مدت) توزیع نمونه برداری از میانگین میانگین جمعیت است (یعنی مقدار مورد انتظار میانگین توزیع نمونه نمونه پارامتر است). راه دیگر برای گفتن این موضوع این است که میانگین نمونه یک برآوردگر بی طرفانه از میانگین جمعیت است. برآوردگرهای بی طرفانه این خاصیت را دارند که مقدار مورد انتظار (میانگین) توزیع نمونه گیری پارامتر است. اگر مقدار مورد انتظار با پارامتر برابر نباشد ، برآوردگر مغرضانه است.

با افزایش اندازه نمونه ، توزیع نمونه برداری از میانگین به شکل طبیعی می شود (این خاصیت به عنوان قضیه حد اصلی شناخته می شود). این بسیار جالب است زیرا ما می توانیم از توزیع عادی برای محاسبه احتمالات و تولید آزمایش فرضیه ها استفاده کنیم.

متأسفانه ، بیشتر اوقات میانگین توزیع نمونه برداری R برابر نیست و همچنین توزیع نمونه گیری R همیشه طبیعی نیست. با این حال ، آمارشناسان راه های مقابله با این آمار راه را توسعه داده اند. اما ابتدا ، بیایید به توزیع نمونه گیری r نگاه کنیم. به یاد بیاورید که R با 1+ و-1 محدود شده است ، یعنی نمی تواند مقادیر بزرگتر یا کوچکتر را به خود اختصاص دهد. هنگامی که r = 0 ، r به صورت متقارن در حدود 0 توزیع می شود ، و میانگین توزیع نمونه گیری با پارامتر برابر است (بله!). با افزایش R از صفر (مثبت تر می شود) ، توزیع نمونه برداری منفی می شود. هرچه R منفی می شود ، توزیع نمونه برداری مثبت می شود.

با نزدیک شدن R +1 ی ا-1 ، واریانس نمونه برداری کاهش می یابد ، به طوری که وقتی R یا در +1 ی ا-1 باشد ، تمام مقادیر نمونه برابر با پارامتر و واریانس نمونه برداری صفر است. واریانس نمونه گیری R تقریباً است

توجه داشته باشید که به عنوان |r |رویکردهای 1 ، واریانس نمونه برداری به صفر نزدیک می شود. شکل توزیع نمونه گیری به n بستگی دارد (به این یکی به من اعتماد کنید). شکل با مقادیر بزرگ N به طور فزاینده ای طبیعی می شود و با افزایش |r |همانطور که مشاهده می کنید ، واریانس نمونه برداری و در نتیجه آزمون اهمیت ، به (1) اندازه همبستگی جمعیت و (2) اندازه نمونه بستگی دارد.

فیشر با افزایش N ، به سرعت عادی می شود. آن را تحول r to z نامیده می شود. ما از آن برای انجام آزمایشات ضریب همبستگی استفاده می کنیم. اساساً کاری که انجام می دهد ، پخش کردن دم کوتاه توزیع است تا تقریباً طبیعی باشد ، مانند این:

توجه داشته باشید که R به Z تا زمانی که R بزرگ نشود ، کار زیادی نمی کند (توزیع R با افزایش آن به طور فزاینده ای کم می شود ، بنابراین Z مجبور به جبران بیشتر است). تحول:

در صورت ورود به سیستم ، لگاریتم طبیعی است و R همبستگی نمونه است. تحول در بالا در جدول و نمودار مرتبط نشان داده شده است.

و نتیجه را با توزیع T با (N-2) DF برای بازگشت مقدار احتمال (2-دم) مقایسه می کند. به مقدار p در SAS نگاه کنید تا بگویید که آیا این همبستگی با صفر متفاوت است ، یعنی آزمایش

آزمایش برای مقدار R غیر از صفر: یک نمونه z. فرض کنید ما در مورد همبستگی بین نمرات آزمون استعداد مکانیکی و عملکرد شغلی مکانیک خودکار برای نمایندگی های Chevy ، برخی از کارهای بررسی را انجام داده ایم. ما می دانیم که به طور متوسط ، همبستگی 0. 30 است. ما فکر می کنیم آزمایش جدید ما بهتر از این است ، بنابراین ما به 200 مکانیک تست می دهیم و همچنین داده های عملکرد شغلی را روی آنها جمع می کنیم. همبستگی حاصل . 54 است. ما می دانیم که r = 0 برای این داده ها قابل تحمل نیست ، اما ما می خواهیم آزمایش کنیم که آیا r = . 30 ، یعنی H 0: r = . 30. فرمول انجام این کار:

که تقریباً به عنوان N (0،1) توزیع می شود که فرضیه تهی صحیح باشد (یعنی می توانیم از توزیع عادی استاندارد برای احتمالات استفاده کنیم). برای داده های ما ، ما داریم

Because 4.13 is greater than 1.96 (1.96 is z or standard normal for a = .05, two-tailed), we can reject the hypothesis that r =.30 and conclude H 1 : r � .30. We could have chosen a 1-tailed hypothesis for our alteate H 1 : r>. 30. در این حالت ، ما از Z = 1. 645 به عنوان مقدار بحرانی خود استفاده می کردیم.

آزمایش برابری همبستگی از 2 نمونه مستقل. فرض کنید ما می خواهیم آزمایش کنیم که آیا همبستگی های محاسبه شده بر روی دو نمونه مختلف (نه 2 همبستگی از همان نمونه) برابر هستند. به عنوان مثال ، فرض کنید ما همبستگی بین SAT-V و GPA تازه کار را به طور جداگانه برای نمونه دانش آموزان دختر و پسر در USF محاسبه می کنیم. ما می دانیم که برای مردان (150 نفر) r = . 63 و برای زنان (175 = n) r = 0. 70. ما می خواهیم بدانیم که آیا اینها به طور قابل توجهی متفاوت هستند ، یعنی H 0: R 1 = R 2.

که تقریباً به عنوان n (0،1) توزیع می شود که فرضیه تهی درست است. برای مثال ما

بیش از دو همبستگی مستقلبشرفرض کنید ما می خواهیم این فرضیه را آزمایش کنیم که سه یا چند همبستگی از نمونه های مستقل دارای همان ارزش جمعیت هستند. یعنی فرض کنید ما مطالعات مستقل K داریم و می خواهیم این فرضیه را آزمایش کنیم₁=r₂=.= r_kبشرابتدا باید R ، ارزش جمعیت مشترک را تخمین بزنیم. برای انجام این کار ، ما میانگین را در طول مطالعات محاسبه خواهیم کرد. اما در ابتدا از تغییر شکل R تا z استفاده خواهیم کرد. اگر مطالعات در اندازه نمونه آنها متفاوت باشد ، ما نیز نیاز به محاسبه میانگین وزنه برداری داریم تا مطالعات با نمونه های بزرگتر به طور متوسط وزن بیشتری نسبت به مطالعات کوچکتر داشته باشد. بنابراین ، ما محاسبه می کنیم:

که فقط میانگین وزنی از همبستگی های فیشر است. ما به دلیل تحول Z به جای n از ( n-3) استفاده می کنیم. اکنون باید بدانیم که مطالعات فردی از میانگین چقدر است. برای به دست آوردن دسته در این مورد ، ما محاسبه می کنیم:

Q فقط مجموع انحرافات مربع از میانگین است که انحرافات مربع با اندازه نمونه آنها وزن می شود (کمتر 3). به نظر می رسد که وقتی این فرضیه تهی مبنی بر اینکه تمام مطالعات K یک مقدار اساسی R را به اشتراک می گذارد ، صحیح است ، q به عنوان ch i-square با درجه ( k-1) آزادی توزیع می شود. بنابراین ما می توانیم Q را محاسبه کنیم و نتیجه را با یک مقدار مجموعه ای از مربع chi-square مقایسه کنیم تا از اهمیت استفاده کنیم. اگر q در مقایسه با مقدار غلیظ chi-square بزرگ باشد ، می توانیم این فرضیه تهی را رد کنیم که همبستگی های مطالعه از یک جمعیت مشترک با یک مقدار واحد r تهیه شده است.

به عنوان مثال ، فرض کنید ما در حال انجام کار اعتبار سنجی آزمون هستیم. ما همبستگی بین عملکرد فروشندگان بانکی را در یک تست ویدیویی با رتبه بندی خدمات مشتری ارائه شده توسط بازیگران در استخدام ما که مشتریان را با مشکلات بانکی برای فروشندگان به تصویر می کشد ، محاسبه کرده ایم و سپس فروشندگان مظنون را در مهارت های خدمات مشتری خود ارزیابی می کنیم. فرض کنید ما مطالعات را در سه بانک مختلف انجام داده ایم و می خواهیم آزمایش کنیم که آیا همبستگی بین آزمون و رتبه بندی خدمات مشتری در بین بانک ها یکسان است یا متفاوت است. فرض کنید ما نتایج زیر را پیدا کردیم:

نتایج سه مطالعه یا نمونه R S . 20 ، . 50 و . 60 بود. اندازه نمونه مورد مطالعه در زیر ستون برچسب N نشان داده شده است. ما R را به Z در ستون بعدی تبدیل می کنیم ، که دارای برچسب z است. برای یافتن میانگین وزنی ، ابتدا هر Z را با ( n-3) ضرب می کنیم ، اندازه نمونه مطالعه کمتر از سه. هنگامی که وزنه برداری Z را اضافه می کنیم ، می بینیم که مبلغ 170. 6 است. اندازه کل نمونه 425 است که ما 9 نفر را کاهش می دهیم (برای هر یک از سه مطالعه سه نفر را کاهش می دهیم) برای مقدار 416. میانگین وزنی ما ، Zbar ، است. 170. 6/416 یا . 41. برای یافتن مقدار Q ، ZBAR را از هر Z و مربع (Z-Zbar) 2 تفریق می کنیم. سرانجام ، ما هر اصطلاح مربع را با اندازه نمونه آن کمتر از سه وزن می کنیم. ورودی های وزنی و مربع در ستون نهایی جدول نشان داده شده است. مجموع ورودی ها در سمت راست ترین ستون جدول ، مقدار ما از Q ، 17. 21 است. ما این مقدار را با مجذور کای با (k-1) = 2 (در مورد ما) درجات آزادی مقایسه می کنیم. مقدار chi-square در p = 0. 05 5. 99 است ، بنابراین می توانیم این فرضیه تهی را رد کنیم که تمام مطالعات از یک جمعیت مشترک گرفته شده است. به نظر می رسد که همبستگی بین نمرات آزمون و خدمات مشتری در برخی از بانک ها نسبت به سایر بانک ها بزرگتر است.

آزمایش برای برابری همبستگی های وابسته. فرض کنید شما می خواهید آزمایش کنید که آیا دو همبستگی گرفته شده از همان نمونه برابر است ، یعنی شما می خواهید برابری دو عنصر را از یک ماتریس همبستگی آزمایش کنید. در این مورد ادبیاتی وجود دارد و چندین آزمایش موجود نیز وجود دارد. دو نوع تست وجود دارد ، یعنی R 12 = R 13 یا R 12 = R 34. توجه داشته باشید که در حالت اول ، یک متغیر مشترک وجود دارد ، و در مورد دوم ، هیچ متغیر مشترکی وجود ندارد. نمونه ای از نوع اول می تواند آزمایشی باشد که آیا ارتباط بین نمرات توانایی شناختی و عملکرد در یک کلاس در تاریخ ایالات متحده برابر است با همبستگی بین نمرات توانایی شناختی و عملکرد در یک کلاس در روانشناسی. نمونه ای از دومی این است که آیا همبستگی بین نمرات در آزمون توانایی شناختی و عملکرد در یک آزمون کلاس در روانشناسی برابر است با همبستگی بین نمرات آزمون شخصیت و نمرات مصاحبه ای که برای تعیین مناسب بودن شخص برای مشاوره شخصی به عنوان یک استفاده می شوددرمانگر (وو ، چه جمله طولانی). هر دو نوع آزمایش توسط Steiger (1980 ، بولتن روانشناختی) شرح داده شده است. برای فرضیه زیر ،

بابکو (1995) "آزمایش Hotelling-Williams" را توصیه می کند. Steiger همچنین اجازه می دهد تا آزمایش برای فرضیه فوق معقول باشد.

آزمون Hotelling-William:

به عنوان مثال ، فرض کنید ما در یک کلاس آمار یک آزمون نهایی را انجام داده ایم (1). علاوه بر این ، ما دو اقدام دیگر داریم. یکی از اقدامات ، نمره کمی SAT (2) و دیگری پرسشنامه خودکارآمدی (3) است که از هر دانش آموز می پرسد که چقدر فکر می کنند در انواع مختلفی از مشکلات آمار قرار دارند. ما می خواهیم بدانیم که آیا نمره امتحان نهایی با مقیاس SAT-Q یا مقیاس خودکارآمدی ارتباط دارد یا خیر. یعنی ما می خواهیم بدانیم که آیا

فرض کنید ما 101 دانش آموز در کلاس خود داریم. بیشتر فرض کنید که r₁₂(همبستگی بین امتحان و SAT) است . 4 ، r₁₃(امتحان و خودکارآمدی) . 6 و r است₂₃3 است.

اگر ارزش بحرانی T را با 98 درجه آزادی پیدا کنیم ، ارزش 1. 98 را پیدا می کنیم. بنابراین می توانیم تهی را رد کنیم که همبستگی ها در جمعیت برابر هستند. خود اثربخشی با نمره امتحان ما نسبت به SAT-Q بسیار ارتباط دارد.

همچنین می توان این فرضیه را آزمایش کرد که r 12 = r 34. من یک مطالعه را به پایان رساندم که در آن یک پرسشنامه خودکارآمدی را اجرا کردیم (چقدر در مشکلات مربوط به میانگین ، متوسط یا حالت؟) و یک امتحان (مشکلات واقعی در میانگین ، متوسط یا حالت) برای دانشجویان در روشهای تحقیق در روشهای تحقیق قرار گرفتیم. دو بار ، یک بار در آغاز ترم و یک بار در پایان ترم. ما انتظار داریم که هم خودکارآمدی و هم عملکرد امتحان با آموزش افزایش یابد. ما همچنین انتظار داریم که دانش آموزان در طول آموزش به طور فزاینده ای کالیبره شوند. یعنی ما انتظار داریم که آنها با دریافت بازخورد در مورد کار خود ، عملکرد بهتری در مورد چقدر خوب در طول ترم داشته باشند. فرض کنید ما 100 دانش آموز داریم و نتایج ما به این شکل است:

اگر دانش آموزان کالیبراسیون بهتری پیدا کنند ، انتظار داریم که همبستگی بین نمرات امتحانات و نمرات خود اثربخشی در پایان ترم بیشتر از ابتدای ترم باشد. ما می خواهیم آزمایش کنیم که آیا همبستگی های 40 و 0. 70 به طور قابل توجهی متفاوت است. این نشان می دهد که آیا کالیبراسیون به میزان قابل توجهی بهبود یافته است یا خیر.

آزمایشی که Steiger (1980) برای این منظور توصیه می کند:

اینجا Z₁₂و Z₃₄به مقادیر تغییر یافته فیشر ، دو همبستگی مراجعه کنید. مقدار موجود در مخرج نیاز به توضیح دارد.

در مثال ما ، RBAR (. 40+. 70)/2 = . 55 است. ما مقدار 0. 55 را برای هر دو r جایگزین خواهیم کرد₁₂و r₃₄در فرمول بالابا استفاده از حسابی کمی ، این را می یابیم

تحولات همبستگی ما با Z به ما می دهد . 423649 و . 867301. آزمون ما ، بنابراین ،

یک تست دو دم در آلفا = . 05 مقدار بحرانی 1. 96 را به ما می دهد. بنابراین ، می توانیم تهی را رد کنیم و نتیجه بگیریم که همبستگی ها متفاوت هستند. دانش آموزان در طول آموزش کالیبراسیون بهتری شدند.

1. محدودیت و تقویت دامنه. محدودیت دامنه زمانی اتفاق می افتد که x ، y یا هر دو در مقادیری که می توانند مصرف کنند محدود شده اند. به عنوان مثال ، فرض کنید ما می خواهیم همبستگی بین آزمایشی مانند SAT و GPA اولمان را بدانیم. ما نمرات آزمون SAT را از متقاضیان جمع می کنیم و GPA را در پایان سال اول سال محاسبه می کنیم. اگر از SAT در پذیرش استفاده کنیم و متقاضیان را با نمرات پایین رد کنیم ، محدودیت دامنه مستقیم خواهیم داشت زیرا هیچ کس در نمونه با نمرات آزمون کم وجود نخواهد داشت. همچنین در GPA محدودیت دامنه وجود خواهد داشت ، زیرا برخی از پایین ترین افراد GPA در طول سال تحصیلی از مدرسه خارج می شوند و به همین ترتیب در نمونه ما گم می شوند. حال فرض کنید ما دوباره همان مطالعه را انجام می دهیم (یعنی SAT را با FGPA همبستگی می کنیم) اما این بار از آزمایش توانایی شناختی غیر از SAT برای پذیرش استفاده می شود و از SAT استفاده نمی شود. هنگامی که ما همبستگی خود را محاسبه می کنیم ، محدودیت غیرمستقیم دامنه وجود خواهد داشت ، زیرا آزمون توانایی SAT و COG با هم ارتباط خواهد داشت ، بنابراین ما تعداد نامتناسبی از افراد با توانایی کم را از نمونه از دست خواهیم داد. برخی از افراد دوست دارند خاطرنشان کنند که توانایی شناختی برای موفقیت دانشمند مهم نیست. آنها چنین می گویند زیرا در برخی از مدارس نخبه مانند هاروارد ، بین نمرات SAT و GPA همبستگی حداقل وجود دارد. نتیجه ، با این حال به دلیل محدودیت دامنه در SAT است - فقط دانش آموزان با امتیاز بالاتر وارد می شوند.

    

نمودار بالا داده های نامحدود را نشان می دهد که در آن هر دو متغیر مداوم و تقریباً عادی توزیع می شوند.

نمودار فوق نشان می دهد که اگر همه موارد زیر میانگین X را حذف کنیم ، چه اتفاقی می افتد.

توجه داشته باشید که چگونه R حاصل از اصلی . 70 کوچکتر است.

در اینجا ما مشاهدات بین 1 تا 3 را حذف کرده ایم. توجه داشته باشید که چگونه R حاصل از اصلی . 70 بزرگتر است.

این می گوید که همبستگی بین متغیرهای مشاهده شده (اندازه گیری شده) برابر است با همبستگی بین نمرات واقعی آنها ، یعنی نمرات که بدون هیچ خطای خطای ریشه مربع محصول دو قابل اعتماد بودن مشاهده نمی شود ، یک قابلیت اطمینان برای هر متغیربشربه عنوان مثال ، فرض کنید ما بین نمرات واقعی 70/0 همبستگی داریم. قابلیت اطمینان x 80/0 و قابلیت اطمینان y 80/0 است. سپس همبستگی مشاهده شده خواهد بود

r = . 70*sqrt (. 8*. 8) = . 7*. 8 = . 56.

گاهی اوقات اتفاق می افتد که ما یک همبستگی مشاهده شده ، برآوردهای قابل اعتماد بودن X و Y داریم و می خواهیم نشان دهیم که اگر اقدامات بدون خطا داشته باشیم ، این همبستگی چیست. این گاهی اوقات همبستگی نامیده می شود که برای قابلیت اطمینان ناامید شده است. فرمول انجام این کار یک تحول ساده از فرمول بالا است:

به عنوان مثال ، اگر ما یک همبستگی مشاهده شده از 0. 56 ، و قابلیت اطمینان x از 8. 8 و قابلیت اطمینان y یا . 8 داشتیم ، پس خواهیم داشت

r = . 56/sqrt (. 8*. 8) = . 56/. 8 = . 70.

فرمول R بر اساس فرض توزیع عادی دو متغیره است. این بدان معنی است که هر دو توزیع طبیعی هستند و اگر هر فاصله ای از x را انتخاب کنید ، مقادیر شرطی y هنوز طبیعی خواهد بود و اگر مقادیر y را انتخاب کنید ، مقادیر شرطی x طبیعی خواهد بود. تا زمانی که هر دو متغیر نسبتاً مداوم و کم و بیش عادی باشند ، R خلاصه خوبی از روابط خطی در داده ها را ارائه می دهد. با این حال ، هنگامی که یک یا هر دو متغیر شکل بدی دارند یا فقط 2 یا 3 مقدار دارند ، دامنه R محدود می شود. به عنوان مثال ، اگر یک متغیر باینری باشد و دیگری مداوم باشد ، R تقریباً نمی تواند به مقدار 1. 0 برسد. حداکثر مقدار آن زمانی اتفاق می افتد که حدود نیمی از مقادیر باینری صفر و نیمی از آنها 1 باشد ، همچنین جایی است که حداکثر واریانس برای اندازه گیری باینری رخ می دهد. حداکثر مقدار R کاهش می یابد زیرا نسبت 1s در متغیر باینری از 5/0 خارج می شود. به عنوان مثال ، بیایید به چند عدد نگاه کنیم.